Continha ou contia?

As duas palavras existem e estão corretas no português.

Continha é diminutivo da palavra conta, que pode significar equação matemática ou dívida.

Exemplos:

Resolva essa continha para a professora avaliar.

Fiz uma continha na loja de sapatos.

Também é flexão do verbo conter no pretérito imperfeito do indicativo, que significa inibir, segurar um impulso ou desejo, reprimir.

Exemplo:

Ela não se continha ao vê-lo com outra pessoa.

Contia é um substantivo feminino que caiu em desuso. Significa quantia em dinheiro que os monarcas ofereciam aos seus servos por gratificação a um serviço prestado.

Exemplo:

O príncipe pagou uma contia ao servo que lhe salvou na Guerra.