As duas palavras existem e estão corretas no português.
Continha é diminutivo da palavra conta, que pode significar equação matemática ou dívida.
Exemplos:
Resolva essa continha para a professora avaliar.
Fiz uma continha na loja de sapatos.
Também é flexão do verbo conter no pretérito imperfeito do indicativo, que significa inibir, segurar um impulso ou desejo, reprimir.
Exemplo:
Ela não se continha ao vê-lo com outra pessoa.
Contia é um substantivo feminino que caiu em desuso. Significa quantia em dinheiro que os monarcas ofereciam aos seus servos por gratificação a um serviço prestado.
Exemplo:
O príncipe pagou uma contia ao servo que lhe salvou na Guerra.