As duas palavras existem e estão corretas no português.


Continha é diminutivo da palavra conta, que pode significar equação matemática ou dívida.


Exemplos:


Resolva essa continha para a professora avaliar.
Fiz uma continha na loja de sapatos.


Também é flexão do verbo conter no pretérito imperfeito do indicativo, que significa inibir, segurar um impulso ou desejo, reprimir.


Exemplo:


Ela não se continha ao vê-lo com outra pessoa.


Contia é um substantivo feminino que caiu em desuso. Significa quantia em dinheiro que os monarcas ofereciam aos seus servos por gratificação a um serviço prestado.


Exemplo:


O príncipe pagou uma contia ao servo que lhe salvou na Guerra.